Calendario

El que la duración de la semana no divida ninguno de los ciclos fundamentales de nuestro calendario tiene una consecuencia engorrosa desde el punto de vista práctico: acertar con el día en que cayó o acaecerá una fecha determinada se convierte en un verdadero acertijo. Esta dificultad es la razón de la existencia de los calendarios perpetuos, que pretenden facilitar dicha tarea. En esta entrada vamos a intentar explicar su funcionamiento mediante de un enfoque peculiar: analizaremos cómo se construye uno.
La idea es sencilla: en el calendario gregoriano contruimos una fecha particular avanzando por varios ciclos. Cada medianoche aumentamos el día dentro del mes. Cuando agotamos un mes, pasamos al siguiente. Y cuando llega el final de diciembre, avanzamos en el año. En el fondo este sistema no es sino una forma de contar días sucesivos. Si todos los años tuviesen 360 días, y todos los meses 30, sería muy fácil calcular el valor total de días transcurridos desde uno determinado. Sería algo así como 360*año+30*mes+día. Pero, como sabemos, en realidad no es tan sencillo. Los años tienen 365 o 366 días, según sean o no bisiestos. Y respecto a los meses, su duración es muy variable. A pesar de ello, vamos a emplear esta especie de calendario simplificado para explicar la esencia del funcionamiento de un calendario perpetuo.
La sucesión de los días de la semana, en contraposición a estos ciclos, sigue un criterio muy simple y estricto. Se progresa desde el primer al séptimo día, y repite este avance initerrumpidamente. Si conocemos el múmero total de días a partir de una determinada fecha (ese valor que calculábamos antes), tan sólo hay que dividirlo por siete y quedarse con el resto. Y a cada resultado se le asigna un día de la semana. Así de simple. Tomemos entonces la expresión numérica anterior y dividamos por siete:
N mod 7= (360*año + 30*mes + día) mod 7 = ((360*año mod 7) + (30*mes mod 7) + (dia mod 7)) mod 7
donde mod significa la operación módulo (el resto en una división).
La última expresión puede parecer una forma muy retorcida de efectuar los cálculos, pero nuestra intención no es recurrir al lápiz y el papel, sino llevarlos a tablas. Y los valores de (30*mes mod 7) se pueden representar en una tabla con doce números, uno por cada mes. Todavía se puede hacer más sencillo. El sumando relativo al año, (360*año mod 7), se repite cada siete. De modo que el cálculo se reduce a tres tablas, una para el año, otra para mes y otra para día, con valores del 0 al 6. Se suman sus elementos, se calcula el residuo de la división por siete, y obtenemos el día de la semana.
En lo anterior hemos empleado, por simplicidad, una especie de calendario imaginario. Un verdadero calendario perpetuo se construiría de la misma forma, con la salvedad de introducir dos modificaciones. En primer lugar, los meses no tienen todos 30 días; esta cuestión no es compleja: habría que sumar el número transcurrido entre el primero de enero y el del mes correspondiente, cuidando el caso excepcional de los años bisiestos. La segunda alteración está relacionada con la duración del año, que puede ser de 365 o 366 días. Esto haría que las repeticiones se den cada 28 años, no cada siete, mientras permanezcamos en el rango de 1901 a 2099. La esencia de los calendarios perpetuos es ésta, aunque la apariencia que adopten puede ser muy diversa.

Calendario perpetuo (http://www.nikolasschiller.com/blog/)

De pequeños, en la escuela, se nos enseñan varios tipos de números: los naturales, enteros, racionales, reales, complejos… Tienen propiedades muy similares: todos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. También todos ellos tienen una cantidad infinita de elementos. Pero existen muchas más construcciones que son de sumo de interés. Una parte muy peculiar de las ciencias exactas trabaja lo que se denomina aritmética modular. En el fondo, aunque no la hayamos estudiado, todos la conocemos. Imaginemos unas matemáticas que sólo empleasen un número limitado de números; 24, por ejemplo, desde el cero hasta el 23. Si a este último elemento, el 23, le sumamos uno, volvemos a tener un cero. Y si al cero le restamos uno, tenemos 23. Con este conjunto de números también podemos sumar, resta y multiplicar, pero repito, no son un grupo ilimitado, sino finito. Esta tipo de aritmética fue desarrollada formalmente por el genial Gauss a comienzos del siglo XIX pero, como posiblemente hayáis imaginado, son en el fondo bastante de uso bastante cotidiano.
He introducido, por familiaridad, un sistema de 24 elementos, porque tales son las horas del día. Pero podríamos hablar, por ejemplo, de siete. A los elementos de este conjunto los podemos llamar 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6; o bien lunes, martes, miércoles… Si al día dos le sumamos siete, volvemos a estar en el día dos. Y si le restamos tres, obtenemos el día seis. Para ser más correctos, en este dominio no se habla de igualdad, sino de congruencia. Decimos que dos días son congruentes módulo siete si son el mismo día de la semana, aunque uno sea 21 de febrero y el otro 17 de marzo. De la misma forma, dos horas son congruentes módulo 24 si el reloj nos muestra el mismo número, aunque estemos en días diferentes. Un tipo de aritmética modular muy curioso es la módulo dos. Las clases de congruencia que crea dividen a los números naturales en dos grupos: los pares y los impares. Por supuesto, posee sus reglas aritméticas propias: dos pares suman siempre par; un par y un impar suman par; el producto de dos pares es par, etc. Se trata de una aritmética de dos elementos: par e impar.
A partir del último ejemplo es fácil comprender por qué a se le denomina modular. El módulo o resto de las divisiones de los números naturales por n da lugar a las diferentes aritméticas modulares. Supongamos que queremos trabajar con un módulo 365. Por simplificar un poco la idea, lo que debemos hacer es efectuar las operaciones de forma habitual, tal y como estamos acostumbrados a hacer con los números naturales, dividir luego por 365 y quedarnos con el resto. El resultado es lo que buscábamos.
Hay una razón para que me extienda sobre esta rama de las ciencias exactas en este blog. Los calendarios trabajan con ciclos. Algunos son impuestos por fenómenos astronómicos, como el ciclo metónico o el calípico. Otros son meramente convenciones resultado de una larga evolución histórica y cultural, como la semana. En cualquier caso, las operaciones matemáticas en dicho marco se efectúan con las herramientas que nos proporciona la aritmética modular. Incluso cuando combinamos dos ciclos, en el fondo se obtiene otro más extenso. Para ser más precisos, su duración viene dada por el máximo común múltiplo de ambos módulos. Pongamos un ejemplo, para entenderlo mejor. El calendario anual, simplificando un poco, se repite cada 365*4+1 días (el día extra es por los bisiestos). Esto son 1461 días. La semana sigue un ciclo de siete. En conjunto, veremos repetirse la coincidencia de fechas y días semanas en el calendario cada 1461*7 días; esto es, cada 10227 días, que son 28 años. Los días de la semana y el año se rigen por una aritmética módulo 10227. En otra ocasión hablaremos de los calendarios perpetuos y habrá oportunidad de extenderse sobre este tema.

La primera referencia a una meridiana solar la encontramos en De Architectura de Vitruvio, aunque el término no tiene el sentido que más adelante se le daría, sino que se usa como elemento constructivo del analema. El tiempo haría que meridiana y analema al mediodía terminasen identificados. En esencia, la meridiana como instrumento es algo tan simple como un objeto o hendidura que se usa para estudiar la sombra (o luz) del sol que proyecta cada mediodía. Dicha figura forma un ocho alargado precisamente en la dirección de las meridianas terrestres. Su construcción, pues, puede ser muy sencilla, y un instrumento así nos proporciona información valiosa, como la determinación de la fecha. En efecto, la sombra más corta marca sobre el suelo el solsticio de verano, y la más alargada el de invierno. Entre ambas marcas, se puede ir señalando el día del año, que se repetirá -casi, habría que anotar- en los años sucesivos, a modo de calendario.

Meridiana del Hotel Victoria. Fuente: Wikipedia (Harlock81)

Sin embargo, sus posibilidades no se agotan en ser un mero calendario solar. En el siglo XVII el interés por dicho instrumento conoce un curioso renacimiento. Kepler acababa de publicar sus descubrimientos, y el debate sobre el heliocentrismo sacudía la astronomía. Más allá de los propios cálculos del alemán, fue precisamente uno de los científicos dudosos respecto a sus ideas quien aportaría la primera demostración de su segunda ley. Quizás Giovanni Cassini pretendía probar que el Sol giraba alrededor de la Tierra, pero lo que obtuvo fue una evidencia de lo contrario.
Me explico: desde antiguo se sabía que el Sol parecía moverse sobre el cielo más lentamente durante los meses de verano. La creencia antigua decía que tal hecho se debía meramente a una cuestión de perspectiva, ya que durante esos días el astro está más lejos de la Tierra (si te ha extrañado esta frase, debes leer el porqué de las estaciones antes de continuar). Según Kepler, no se trata sólo de eso: nuestro planeta se mueve efectivamente más rápido al acercarse al Sol. Para comprobar si tenía razón -o demostrar que estaba equivocado- había que medir durante el año las variaciones de su diámetro, las de su sombra, y llevar a cabo algunas cuentas. Y Cassini se puso manos a la obra, pero necesitaba medidas muy precisas de la meridiana, tan precisas como le fuera posible.
Había en realidad otros intereses adicionales que se sumaban al proyecto: la determinación exacta de la duración del año solar no era menos importante, ya que de ello depende el calendario, y llevaba asociada la eterna preocupación de la Iglesia por la determinación de la fecha de la Pascua. Pues bien, para efectuar estas mediciones con la mayor precisión, Cassini necesitaba una meridiana lo más grande posible. Y le parecieron suficientes unos 27 metros. A esa altura, en la Basílica de San Petronio, en Bolonia, practicó un agujero de dos centímetros y medio, que proyectaría una sombra sobre el suelo capaz de extenderse en verano hasta casi 67 metros. Todavía hoy sigue siendo la más larga del mundo.
En realidad, tal proyecto en la basílica lo inició 75 años antes Ignacio Danti, quien después formase parte de la comisión de la que nació el calendario gregoriano. Sin embargo, tuvo que ser demolido por una ampliación. Cuando Cassini estudió su reconstrucción, no se conformó con la altura original del gnomon (la abertura), sino que quiso elevarlo un tercio más. Puede parecer sencillo, pero en realidad se trataba de una osadía: el templo no mira exactamente al sur, y la meridiana caía pues en diagonal. Para hacer dicha ampliación el astrónomo tuvo que hallar una posición crítica en la fachada de modo que la luz discurriese de forma muy ajustada entre las columnas.

Meridiana de San Petronio

Aunque Cassini evidenció con sus cálculos la validez de la segunda ley de Kepler, su condición de italiano no le permitía adoptar a la ligera la postura geocéntrica. Por esta razón terminaría concluyendo que “il Sole o, il che è la stessa cosa, la Terra, può essere trattato come un pianeta, come affermato da Copernico” [el Sol, o equivalentemente, la Tierra, puede tratarse como un planeta, como defendía Copérnico].

Publicación de Giovanni Domenico Cassini en openlibrary.org: La meridiana del templo de San Petronio.