Calendario

De pequeños, en la escuela, se nos enseñan varios tipos de números: los naturales, enteros, racionales, reales, complejos… Tienen propiedades muy similares: todos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. También todos ellos tienen una cantidad infinita de elementos. Pero existen muchas más construcciones que son de sumo de interés. Una parte muy peculiar de las ciencias exactas trabaja lo que se denomina aritmética modular. En el fondo, aunque no la hayamos estudiado, todos la conocemos. Imaginemos unas matemáticas que sólo empleasen un número limitado de números; 24, por ejemplo, desde el cero hasta el 23. Si a este último elemento, el 23, le sumamos uno, volvemos a tener un cero. Y si al cero le restamos uno, tenemos 23. Con este conjunto de números también podemos sumar, resta y multiplicar, pero repito, no son un grupo ilimitado, sino finito. Esta tipo de aritmética fue desarrollada formalmente por el genial Gauss a comienzos del siglo XIX pero, como posiblemente hayáis imaginado, son en el fondo bastante de uso bastante cotidiano.
He introducido, por familiaridad, un sistema de 24 elementos, porque tales son las horas del día. Pero podríamos hablar, por ejemplo, de siete. A los elementos de este conjunto los podemos llamar 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6; o bien lunes, martes, miércoles… Si al día dos le sumamos siete, volvemos a estar en el día dos. Y si le restamos tres, obtenemos el día seis. Para ser más correctos, en este dominio no se habla de igualdad, sino de congruencia. Decimos que dos días son congruentes módulo siete si son el mismo día de la semana, aunque uno sea 21 de febrero y el otro 17 de marzo. De la misma forma, dos horas son congruentes módulo 24 si el reloj nos muestra el mismo número, aunque estemos en días diferentes. Un tipo de aritmética modular muy curioso es la módulo dos. Las clases de congruencia que crea dividen a los números naturales en dos grupos: los pares y los impares. Por supuesto, posee sus reglas aritméticas propias: dos pares suman siempre par; un par y un impar suman par; el producto de dos pares es par, etc. Se trata de una aritmética de dos elementos: par e impar.
A partir del último ejemplo es fácil comprender por qué a se le denomina modular. El módulo o resto de las divisiones de los números naturales por n da lugar a las diferentes aritméticas modulares. Supongamos que queremos trabajar con un módulo 365. Por simplificar un poco la idea, lo que debemos hacer es efectuar las operaciones de forma habitual, tal y como estamos acostumbrados a hacer con los números naturales, dividir luego por 365 y quedarnos con el resto. El resultado es lo que buscábamos.
Hay una razón para que me extienda sobre esta rama de las ciencias exactas en este blog. Los calendarios trabajan con ciclos. Algunos son impuestos por fenómenos astronómicos, como el ciclo metónico o el calípico. Otros son meramente convenciones resultado de una larga evolución histórica y cultural, como la semana. En cualquier caso, las operaciones matemáticas en dicho marco se efectúan con las herramientas que nos proporciona la aritmética modular. Incluso cuando combinamos dos ciclos, en el fondo se obtiene otro más extenso. Para ser más precisos, su duración viene dada por el máximo común múltiplo de ambos módulos. Pongamos un ejemplo, para entenderlo mejor. El calendario anual, simplificando un poco, se repite cada 365*4+1 días (el día extra es por los bisiestos). Esto son 1461 días. La semana sigue un ciclo de siete. En conjunto, veremos repetirse la coincidencia de fechas y días semanas en el calendario cada 1461*7 días; esto es, cada 10227 días, que son 28 años. Los días de la semana y el año se rigen por una aritmética módulo 10227. En otra ocasión hablaremos de los calendarios perpetuos y habrá oportunidad de extenderse sobre este tema.

Estamos tan acostumbrados hoy en día a manejar las horas (en nuestras citas, programaciones, comidas, itinerarios, trabajo…) que cuesta creer que ha sido una de las divisiones temporales más complejas de acuñar. Tanto más habida cuenta de la sencillez de su definición: se trata de la veinticuatroava parte de un día. Pero habría que aclarar muchos matices.
Los primeros relojes que conocemos, bien de sol, bien de agua, proceden del Antiguo Egipto, y en ellos ya podemos observar la división de una jornada en 24 horas. No obstante, estas divisiones son variables, puesto que fraccionaban el periodo diurno, fuese cual fuese la época del año, en doce partes. Ni siquiera éstas eran de igual duración, sino más o menos aproximada, dividiendo el recorrido del sol en ocho o diez partes y distribuyendo las restantes en el amanecer y el atardecer. Las horas nocturnas se organizaron a imitación de éstas. Para determinarlas se ayudaban de clepsidras o de la observación de las estrellas. Sabemos que los sumerios compartían esta misma división del día, que terminaron por heredar las civilizaciones griega y romana. Sólo estos últimos establecen una duración homogénea para las horas tanto a lo largo de la jornada como del año, que se ha mantenido en Europa hasta la actualidad. Y podemos decir que comparte todo el mundo, si bien en algunos lugares se puede compaginar con otros usos, como sucede en el ámbito religioso musulmán. Durante la Revolución Francesa, a título anecdótico, se propuso sin éxito fraccionar el día en diez horas. Modernamente, con la mejora de la precisión de los relojes, la redefinición de la unidad base de tiempo ha afectado a la hora, que hoy se fija como un periodo de 3600 segundos, salvo aquellos casos en que la necesidad de reajustes fuerza a disminuir o aumentar esta cantidad.
Tema aparte es cómo contarlas. Hasta hace poco más de un siglo la vida cotidiana se ha regido por la hora solar local; es decir, se contaba desde la medianoche del núcleo de población más próximo. Pero históricamente se han elegido otros momentos del día: el amanecer, el mediodía, el momento del atardecer en que se podían observar tres estrellas, o cuando no se puede distinguir un hilo blanco de otro negro, por ejemplo. Incluso hoy seguimos distintas horas según nuestro huso, o contamos doblemente alguna (o nos la saltamos) allá donde efectuamos el cambio del horario de verano. Para denominarlas se usan dos métodos: referirse a ellas usando los números del 0 a 23, o bien contarlas desde las 1 a las 12 indicando si nos referimos a aquélla existente antes del mediodía (ante merídiem o a.m.) o después (post merídiem o p.m.). Hacer notar que el cambio de a.m. a p.m. y viceversa se produce al pasar de las 11 a las 12. Esta forma de contarlas ni siquiera ha estado ligada tradicionalmente al inicio del día. Así, vemos que en la Antigua Roma, por ejemplo, éste acababa con la puesta de sol en un primer momento, y con la medianoche posteriormente, pero las horas se contaban desde el amanecer. Costumbre que no se empezó a abandonar hasta la Baja Edad Media (recordemos que las horas canónicas menores eran la prima, tercia, sexta y nona).

Mientras que otros ciclos del calendario tienen una relación directa con fenómenos astronómicos -el día con el periodo de rotación de la tierra; el año con el de traslación alrededor del sol; el mes, aunque ya muy alterado, con las fases lunares- no podemos decir lo mismo de la semana. Y eso a pesar de su inmutabilidad a lo largo de los siglos y su práctica universalidad. Con dificultad se puede justificar su duración asociándola al ciclo lunar, pues éste está más cerca de los 30 días que de los 28, y parece más bien una elección arbitraria basada en el múmero siete. Ése es su significado etimológico en muchos idiomas: en español proviene del latín septimana, para los árabes es isbu’u, para hebreos shabu’a, haftah para persas, hebdomas para griegos o seachduin en gaélico. Otras civilizaciones, incluida la romana, lo cual heredaría buena parte de Europa, asociaron además el nombre de sus días con los planetas conocidos entonces, Luna y Sol incluidos. No obstante, vestigio de su origen etrusco, la semana romana poseía en su origen ocho días. No se trata de algo anecdótico: para los egipcios, griegos o chinos constaba de diez, las tribus bálticas respetaban un ciclo de nueve, los mayas o aztecas tenían divisiones de 13 o 20, según se interprete y en Java todavía se emplea un grupo de cinco. Modernamente la Revolución Francesa quiso instaurar una semana de diez días, y la soviética una de cinco. Todo ello redunda en el carácter artificial de esta división, concebida quizás para cubrir el vacío que existe entre el periodo de rotación de la Tierra y la duración de un mes.

Nuestra semana hunde sus raíces en la civilización sumeria, para la que el número siete poseía un carácter sagrado. Su calendario celebraba de forma especial los días del mes divisibles por dicho factor. No obstante, para ellos la semana no constituía un ciclo fundamental, pues el mes se reajustaba con cada lunación, lo que introducía uno o dos jornadas extras una vez completa la cuarta semana. Los judíos adoptan este periodo durante su diáspora en Babilonia, otorgándole un carácter continuo que se ha seguido fielmente hasta la actualidad (con la única excepción, como dato anecdótico, de los dos viernes seguidos que vio Alaska en 1867). De los asirios tomaron los hebreos también la observancia del sabbath. Como es de suponer, las grandes religiones monoteístas heredaron de ellos la semana, alterando sólo su día festivo: domingo (dominus dei) para los cristianos y viernes en el caso de los musulmanes.